Skalarne quasiliniowe równanie cząstkowe

Równania cząstkowe, są to równania wiążące funkcje wielu zmiennych oraz ich pochodne cząstkowe. Rozwiązywanie równań cząstkowych (w tych przypadkach, gdy jest to możliwe) wymaga opracowania metod istotnie różniących się od tych, które stosuje się w przypadku równań zwyczajnych. Istnieje jednak ważna klasa równań cząstkowych, która jest ściśle związana z układami równań zwyczajnych i których rozwiązywanie w dużej mierze opiera się na podejściach stosowanych w teorii równań zwyczajnych.

Definicja 1:

Skalarnym niejednorodnym równaniem cząstkowym quasiliniowym nazywa się równanie postaci

(1)

\( P_1(x_1,x_2,...x_n;z)\frac{\partial z}{\partial x_1}+...+P_n(x_1,x_2,...x_n;z)\frac{\partial z}{\partial x_n}=R(x_1,x_2,...x_n;z). \)

Jeżeli funkcje \( \left\{P_j\right\}_{j=1}^n \) nie zależą od zmiennej \( z \), natomiast prawa strona równania ( 1 ) jest tożsamościowo równa zeru, wówczas równanie nazywa się liniowym jednorodnym.
Wśród równań quasiliniowych wyróżniamy ważną podklasę równań o dwóch zmiennych niezależnych, dopuszczającą klarowną interpretację geometryczną. Będzie ona rozpatrzona w pierwszej kolejności, a następnie metody opracowane dla niej zostaną przeniesione na równania quasiliniowe o dowolnej ilości zmiennych niezależnych.

Problem poszukiwania powierzchni wektorowej w przestrzeni trójwymiarowej

Rozpatrzmy równanie postaci

(2)

\( P(x,\,y,\,z)\frac{\partial\,z}{\partial\,x}+Q(x,\,y,\,z)\frac{\partial\,z}{\partial\,y}=R(x,\,y,\,z), \)

gdzie \( z=z(x,\,y) \). Zakładamy że \( P,\,Q,\,R \) — są funkcjami ciągłymi w pewnym zbiorze otwartym \( U\,\subset\,R^3. \) Ponadto zakładamy, że w zbiorze \( U \) nie ma żadnego punktu, w którym te funkcje zerują się jednocześnie. Rozpatrzmy funkcję wektorową

(3)

\( \vec F(x,\,y,\,z)= P(x,\,y,\,z)\,\vec i + Q(x,\,y,\,z) \vec j + R(x,\,y,\,z) \vec k, \)

gdzie \( \vec i,\,\vec j,\,\vec k \) są to wektory o jednostkowej długości, skierowane odpowiednio wzdłuż osi \( OX,\,OY,\,OZ. \) Mówimy wówczas, że wzór ( 3 ) przyporządkowujący każdemu punktowi \( (x,\,y,\,z) \) pewien wektor przestrzenny, zadaje w obszarze \( U\,\subset\,R^3 \) pole wektorowe.

Definicja 2:

Liniami pola wektorowego \( \vec F(x,\,y,\,z) \) nazywamy rozwiązania zagadnienia początkowego

(4)

\( \begin{cases}\frac{d\,x}{d\,t}=P(x,\,y,\,z),& \qquad x(t_0)=x_0, \\ \\ \frac{d\,y}{d\,t}=Q(x,\,y,\,z),& \qquad y(t_0)=y_0, \\ \\ \frac{d\,z}{d\,t}=R(x,\,y,\,z),& \qquad z(t_0)=z_0,\end{cases} \)

gdzie \( (x_0,\,y_0,\,z_0)\,\in\,U. \) Z interpretacji geometrycznej układu wynika, że pole wektorowe \( \vec F=(P,\,Q,\,R) \) jest styczne do krzywej całkowej \( \left(x(t),\,y(t),\,z(t) \right) \) w każdym jej punkcie.

Rozpatrzmy teraz krzywą sparametryzowaną

\( \Gamma=(x_0(s),\,y_0(s),\,z_0(s) ), \quad s\,\in (t_0-\varepsilon,\,\,t_0+\varepsilon ), \quad x_0(t_0)=x_0,\,\,y_0(t_0)=y_0,\,\,z_0(t_0)=z_0, \)

która w całości leży w \( U \) oraz spełnia warunek transwersalności

(5)

\( \det\,\left[ \begin{array}{lll} \vec i & \vec j & \vec k \\ x_0(s) & y_0(s) & z_0(s) \\ P (\rho_{0\,s}) & Q (\rho_{0\,s}) & R (\rho_{0\,s}) \end{array} \right] \neq 0, \qquad\rho_{0\,s}= \left( x_0(s),\, y_0(s),\, z_0(s) \right). \)

Warunek ( 5 ) oznacza, że krzywa \( \Gamma \) w żadnym punkcie nie jest styczna do pola \( \vec F(x,\,y,\,z). \)
W dalszym ciągu rozpatrzmy dwuparametrową rodzinę funkcji \( x(t,\,s),\,y(t,\,s),\,z(t,\,s) \) będących rozwiązaniami zagadnienia początkowego

(6)

\( \begin{cases}\frac{d\,x}{d\,t}=P(x,\,y,\,z),& \qquad x(t_0,\,s)=x_0(s), \\ \\\frac{d\,y}{d\,t}=Q(x,\,y,\,z),& \qquad y(t_0,\,s)=y_0(s), \\ \\\frac{d\,z}{d\,t}=R(x,\,y,\,z),& \qquad z(t_0,\,s)=z_0(s).\end{cases} \)

Rodzina ta opisuje powierzchnię \( \Sigma \) ( tzw. powierzchnię wektorową pola \( \vec F \)), która cechuje się tym, że pole \( \vec F=(P,\,Q,\,R) \) jest styczne do niej w każdym punkcie. Potocznie mówi się że powierzchnia \( \Sigma=(x(t,\,s),\,y(t,\,s),\,z(t,\,s) ) \) jest utkana z trajektorii pola wektorowego \( \vec F \).
Opis powierzchni \( \Sigma \) można oprzeć na takiej obserwacji: jeżeli wzór

\( \Phi (x,\,y,\,z)=C \)

opisuje pewną gładką powierzchnię w \( R^3 \), wówczas pole wektorowe

\( \vec \nabla \Psi (x,\,y,\,z)|_{\Phi (x,\,y,\,z)=C}\equiv\left( \frac{\partial \Psi}{\partial x},\,\frac{\partial \Psi}{\partial y},\,\frac{\partial \Psi}{\partial z} \right)|_{\Phi (x,\,y,\,z)=C,} \)

zwane polem gradientowym powierzchni \( \Phi=C, \) jest prostopadłe do tej powierzchni. Warunek prostopadłości można przedstawić w następującej postaci:

\( \vec F\,\vec \nabla \Psi (x,\,y,\,z)=0. \)

Powyższy warunek wynika z tego, że pole \( \vec F \) jest styczne do powierzchni \( \Sigma \). Wówczas pole gradientowe jest w każdym punkcie do tej powierzchni prostopadłe. Powierzchnię tę można przedstawic w postaci funkcji

\( z=\phi(x,\,y;\,C). \)

Wówczas można przyjąć, że \( \Phi=\phi(x,\,y)-z \) i warunek styczności przybiera postać równania

\( P\,\phi_x+Q\,\phi_y-R=0, \)

które po dokonaniu podstawienia \( \phi(x,\,y;\,C)=z \) oraz po przeniesieniu ostatniego wyrazu na prawą stronę, pokrywa się z ( 2 ). Jeżeli dla pewnego punktu \( \rho_0=(x_0,\,y_0,\,z_0) \) spełniony jest warunek

\( \Phi_z (x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0, \)

wówczas w pewnej kuli otwartej

\( K(\rho_0,\,\varepsilon)=\left\{(x,\,y,\,z): \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}<\varepsilon \right\} \)

wzór \( \Phi (x,\,y,\,z)=C \) zadaje w postaci uwikłanej pewną funkcję \( z=\psi(x,\,y) \), która jest określona w sposób jednoznaczny, przy ustalonej wartości parametru \( C \). Warunek prostopadłości zapisuje się wówczas w postaci jednorodnego równania liniowego

(7)

\( P(x,\,y,\,z)\frac{\partial\,\Phi}{\partial\,x} + Q(x,\,y,\,z)\frac{\partial\,\Phi}{\partial\,y} + R(x,\,y,\,z)\frac{\partial\,\Phi}{\partial\,z} =0. \)

Między quasiliniowym niejednorodnym równaniem ( 2 ), a liniowym jednorodnym równaniem ( 7 ) istnieje ścisły związek, który jest przedstawiony poniżej.

Twierdzenie 1:

Jeżeli funkcja \( \Phi(x,\,y,\,z) \) będąca rozwiązaniem równania ( 7 ) spełnia warunek \( \Phi_z \neq 0 \), to wówczas funkcja \( z=\phi(x,\,y;\,C), \) zadana w postaci uwikłanej równaniem \( \Phi (x,\,y,\,z)=C=\textrm{const},\,\, \)spełnia równanie ( 2 ).

Dowód
Rzeczywiście, załóżmy że funkcja \( z=\phi(x,\,y;\,C) \) jest określona równaniem

\( \Phi (x,\,y,\,\phi(x,\,y;\,C))=C. \)

Wówczas, różniczkując powyższą tożsamość najpierw względem \( x \), a następnie względem \( y, \) otrzymamy:

\( \frac{\partial\,\Phi}{\partial\,x}+\frac{\partial\,\Phi}{\partial\,z}\cdot \frac{\partial\,\phi}{\partial\,x}=0, \qquad \frac{\partial\,\Phi}{\partial\,y}+\frac{\partial\,\Phi}{\partial\,z}\cdot \frac{\partial\,\phi}{\partial\,y}=0. \)

Stąd mamy, że

\( \frac{\partial\,\phi}{\partial\,x}=-\frac{\frac{\partial\,\Phi}{\partial\,x}}{\frac{\partial\,\Phi}{\partial\,z}}, \qquad\frac{\partial\,\phi}{\partial\,y}=-\frac{\frac{\partial\,\Phi}{\partial\,y}}{\frac{\partial\,\Phi}{\partial\,z}}. \)

Podstawiając te wzory do ( 2 ) i mnożąc wynik przez \( -{\partial\,\Phi}/{\partial\,z}\,\, \) otrzymamy, po elementarnych przeksztalceniach, żądaną tezę.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Skalarne quasiliniowe równanie cząstkowe

Definicja 1:

Problem poszukiwania powierzchni wektorowej w przestrzeni trójwymiarowej

Definicja 2:

Twierdzenie 1: